Die Definition einer
separierbaren
Differentialgleichung
Definition: Was ist eine
separierbare Differentialgleichung
Eine Differentialgleichung der 1.Ordnung hat die allgemeine Form:
Dabei ist y' die 1.Ableitung und f eine Funktion der unabhängigen Variable
x
und
der abhängigen Variable y. Wir wählen jetzt die ausführliche Schreibweise für
die
Ableitung y'. Außerdem geben wir ein Beispiel für eine Differentiallgeichung
1.Ordnung an:
Ein Sonderfall der Differentialgleichung 1.Ordnung ist die sogenannte
"separierbare Differentialgleichung". Bei einer separierbaren
Differentialgleichung
steht auf der rechten Seite ein Quotient aus zwei Funktionen, wobei die
Funktion
im Zähler nur von x abhängt und die Funktion im Nenner nur
von y:
Woher kommt der Name "separierbar"
Um zu erklären, woher der Name "separierbar" kommt, multiplizieren
wir die
letzte Differentialgleichung mit dx und dann mit g(y). Wir erhalten:
Jetzt stehen alle Terme mit y separat (getrennt) auf der linken Seite der
Differentialgleichung,
alle Terme mit x stehen separat (getrennt) auf der
rechten Seite der Differentialgleichung:
Man nennt also Differentialgleichungen der
Form y'=f(x)/g(y) deshalb
separierbar,
weil man die Differentialgleichung so umformen kann, dass die Terme mit x und
die Terme mit y jeweils separat (getrennt) auf einer Seite stehen.
Differentialgleichungen der Form y'=f(x)/g(y) sind aber nicht die einzigen, bei
denen
man die Variablen separieren kann. Daher gibt es noch ein paar andere
Definitionen:
Alternative Definitionen der separierbaren DGL
Hier die sechs üblichen Definitionen. Die Vor- und Nachteile werden auf der
nächsten Seite ausführlich erklärt:
