Auf der vorigen Seite hatten wir die 1.Definition für eine
separierbaren DGL angegeben:
Die 3.Definition einer separierbaren Differentialgleichung lautet nun:
Hier steht die Funktion von y im Zähler, statt im Nenner, und Funktion von x
steht im
Nenner, anstatt im Zähler.
Um zu beweisen, dass beide Definitionen gleichwertig sind, müssen wir
"in zwei Richtungen" beweisen. Wir müssen beweisen, dass aus der 1.Definition
die 3.Definition folgt, und aus der 3.Definition die 1.Definition:
Aus der 1.Definition folgt die 3.Definition
Die Idee: Wir schreiben den Bruch als Doppelbruch. Da die meisten
Leser
wahrscheinlich die Bruchrechnung vergessen haben, machen wir es ausführlich:
Wir erweitern mit dem Kehrwert des Produkt f(x)·g(y) und kürzen dann:
Im Zähler steht eine Funktion von y, die wir u(y) nennen, im Nenner steht
eine Funktion von x, die wir v(x) nennen. Wir erhalten die 3.Definition:
Aus der 3.Definition folgt die 1.Definition
Wir erweitern die linke Seite der 3.Definition mit dem Kehrwert
des
Produkt u(y)·v(x) und kürzen dann:
Im Zähler steht eine Funktion von x, die wir f(x) nennen, im Nenner steht
eine Funktion von y, die wir g(y) nennen. Wir erhalten die 1.Definition:
