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Gegeben: |
Die Funktion f(x) = sin (x²) |
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Gesucht: |
 Die Ableitungsfunkion f
'(x)
 Die Ableitung an der
Stelle x0= 0 |
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Lösung: |
In der Lösungsformel sind
g'(x) und h'[g(x)]
unbekannt. Zuerst bestimmen wir g'(x): |
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g (x) = x² |
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g '(x) = 2x |
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Nun bestimmen wir die Ableitung der
äußeren Funktion h.
Dazu substituieren (ersetzen) wir x² durch z, differenzieren,
und rücksubstituieren (statt z kann man der Variable natürlich
auch jeden anderen Namen geben: Oft nimmt man den Namen
der inneren Funktion, also im Beispiel wäre es g. Wir nehmen aber z). |
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h
[g(x)] = sin (x²) |
substituieren:
g(x)=x²=z |
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h
[z] = sin z |
differenzieren |
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h'[z] = cos z |
rücksubstituieren |
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h'[g(x)] = cos (x²) |
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Wie in der Kettenregel angegeben müssen wir
nun noch h'[g(x)] mit g '(x) multiplizieren: |
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f '(x) = h'[g(x)] · g '(x)
= cos [x²] · 2x |
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Nun wollen wir noch die
Ableitung der
Funktion f(x) an der Stelle 0 bestimmen. |
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f '(x0) = cos [x²]·2x
f '(x0) = cos [0²]·2·0
f '(x0) = 1·2·0
f '(x0) = 0 |
Worum geht's
Nun geht es um die Ableitung der Funktion f(x) = h[(g(x)] ,
also um eine Funktion die Verknüpfung zweier Funktionen ist.
