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1.Substitution der gegebenen Gleichung: |
Nun wollen wir das Lösungsverfahren Substitution
erklären.
Gegeben sei die Exponentialgleichung:
Nun wandeln wir den ersten Summanden der Gleichung mit
Hilfe
eines Potenzgesetzes um:
Damit wir die ursprüngliche Gleichung zu:
In dieser Gleichung kommt nun zweimal der Ausdruck 3x
vor.
Diesen Ausdruck ersetzen (substituieren) wir nun durch
die neue
Variable, der wir den Namen u.geben. Die Gleichung
lautet nun:
Wir haben also 3x
durch u substituiert, und eine quadratische
Gleichung erhalten.
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2.Die substituierte Gleichung lösen: |
Als nächstes müssen wir die substituierte Gleichung
lösen:
Dazu benutzen wir die bekannte p-q-Lösungsformel:
Wir setzen die Koeffizienten der quadratischen Gleichung
in die Lösungsformel ein:
Ausrechnen der Formel ergibt die Lösung:
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| 3.Rücksubstitution
durchführen: |
Im Schritt 1 hatten wir die
Substitution 3x=u
durchgeführt, und dann im Schritt 2 die Variable u
berechnet.
Wir wollen aber nicht u berechnen, sondern x. Daher
müssen wir nun die Substitution rückgängig machen,
d.h. wir müssen u wieder durch 3x
ersetzen:
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| 4.Rücksubstitutierte
Gleichung lösen: |
Jetzt haben wir wieder eine Exponentialgleichung,
aber diese ist viel
einfacher als die gegebene Gleichung. Wir lösen sie
durch logarithmieren:
Auf der rechten Seite wenden wir ein Logarithmusgesetz
an:
Wir bringen alle Konstanten auf die linke Seite:
Wir erhalten die Lösung der
Exponentialgleichung:
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