Beispiel 3: Basis muß erst angeglichen werden

1.Substitution vorbereiten: Potenzen umformen:
Wir betrachten wieder eine Gleichung mit drei Summanden:

Hier scheint keine Substitution möglich zu sein, denn weder die Basen noch
die Exponenten sind gleich.Man kann aber die beiden Basen ineinander umwandeln,
denn die erste Basis (4) ist eine Potenz der zweiten Basis (2):

Jetzt müssen wir nur noch das Potenzgesetz für Potenzen anwenden:

Nun sind nur noch die Exponenten verschieden, doch auch diese kann man gleich
machen. Dazu wenden wir das Produktgesetz für Potenzen an:

Betrachten wir nun die beiden Exponenten, die die  Unbekannte x enthalten.
Der erste Exponent ist doppelt so groß wie der zweite, was wir erkennen, wenn
wir die Schreibweise im ersten Exponenten verändern:

Nun müssen wir auf den ersten Exponenten nochmals das
Potenzgesetz für Potenzen anwenden, und erhalten:

Nun sind die beiden Potenzen mit der Unbekannten gleich, und
wir können die Substitution durchführen. Allerdings vereinfachen
wir die Gleichung vorher, indem wir die Konstanten berechnen:

  
2.Substitution der gegebenen Gleichung:
Nun können wir die Substitution  23x = u  durchführen:

Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit 4, damit der Bruch verschwindet:

Es liegt nun eine quadratische Gleichung in Normalform vor.
   
3.Die substituierte Gleichung lösen:
Diese substituierte Gleichung lösen wir mit der p-q-Lösungsformel
für quadratische Gleichungen in Normalform:

Werte einsetzen:

Es ergibt sich die Lösung:

   
4.Rücksubstitution durchführen:
Wir machen nun die Substitution 23x = u aus Schritt 2 wieder rückgängig,
5.Rücksubstitutierte Gleichung lösen:
Die rücksubstituierte Gleichung lösen wir durch Logarithmieren:

Auf der linken Seite wenden wir das Logarithmusgesetz für Potenzen an:

Wir bringen alle Konstanten auf die rechte Seite:

Jetzt müssen wir nur noch die Gleichung durch 3 teilen:

Dies ist die Lösung der Exponentialgleichung.