Geometrische Reihen
Beweis der Formel für
das n-te Glied einer
geometrischen Reihe
a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis
Nun müssen wir die Formel von der vorigen Seite noch beweisen:

a-1.pcx (190 Byte) Zuerst schreiben wir eine Reihe mit n Gliedern auf:

a-1.pcx (190 Byte) Abgesehen vom ersten Summanden können wir die Konstante q
    aus allen Summanden ausklammern:

a-1.pcx (190 Byte) Den Ausdruck in der Klammer entspricht der ursprünglich gegebenen
    Reihe, wenn man von ihr das letzte Glied abzieht. Wir dürfen also schreiben:

a-1.pcx (190 Byte) Wir multiplizieren die Klammer aus und beachten dabei,
    dass aufgrund der Potenzgesetze gilt:  q·qn–1 = q1·qn–1 = q1+n–1 = qn

a-1.pcx (190 Byte) Wir bringen alle Terme mit sn auf die linke Seite:
 
a-1.pcx (190 Byte) Auf der linken Seit kann man sn und auf der rechten Seite a1 ausklammern:

a-1.pcx (190 Byte) Nun muß die Formel nur noch nach sn umgestellt werden,  
     indem man beide Seiten der Gleichung durch (1–q) dividiert:

Die ist die Formel für das n-te Glied der Reihe, die wir beweisen wollten.