Analytisches Lösen
einer Gleichung durch
Äquivalenz- und
Folgeumformungen
Erklärung
Im ersten Kapitel haben wir gesagt, dass man eine Gleichung analytisch
(durch Umformungen), numerisch oder grafisch lösen kann.
In diesem Kapitel geht es um das analytische Lösen einer Gleichung.
Bei analytischen Lösen einer Gleichung formt man die Gleichung
solange um, bis die unbekannte Variable x auf einer Seite der
Gleichung isoliert ist. Beispiel:
Bei den Umformungen unterscheidet man zwischen Äquivalenz-
und Folgeumformungen.
Äquivalenzumformungen
Wendet man eine Äquivalenzumformung auf eine
Gleichung an,
dann wird die Lösungsmenge der Gleichung dadurch nicht verändert.
Anders ausgedrückt: Die Gleichung hat vor und nach der Umformung
die gleiche Lösungsmenge. Ein Beispiel ist die Multiplikation beider
Seiten einer Gleichung mit einer Zahl:
Folgeumformungen
Wendet man eine Folgeumformung auf eine Gleichung
an,
dann wird die Lösungsmenge der Gleichung dadurch vergrößert.
Anders ausgedrückt: Die Gleichung hat nach der Umformung
mehr Lösungen als vor der Umformung. Ein Beispiel ist das
Potenzieren beider Seiten einer Gleichung:
Die falschen Lösungen bezeichnet man als Scheinlösungen.
Die Scheinlösungen stellen jedoch kein Problem da, wenn
man nach dem Lösen der Gleichung die Probe macht.
Bei der Probe werden alle Lösungen in die ursprüngliche
Gleichung eingesetzt. Ergibt sich dabei eine falsche Aussage,
dann handelt es sich um eine Scheinlösung.
Unerlaubte Umformungen
Es gibt Umformungen, die man nicht anwenden
kann, weil sich
dadurch undefinierte Ausdrücke ergeben würden. Ein Beispiel
ist das Radzieren einer Gleichung, wenn eine Seite der Gleichung
negativ ist:
Solche Gleichungen löst man, indem man (vor dem Radizieren) beide
Seiten der Gleichung quadriert oder den Betrag bildet.
