Im Kapitel II haben wir gelernt: Macht man beide Seiten einer Gleichung zum
Argument einer injektiven Funktion, dann handelt es sich um eine
Äquivalenzumformung, ansonsten um eine Folgeumformung.

Wir zeigen nun, warum die Anwendung einer nicht-injektiven Funktion keine
Äquivalenzumformung sein kann. Wir benutzen das Beweisverfahren
"Beweis durch Widerspruch".

  

Gegeben sei ein Gleichung, die nur eine Lösung hat.	x=a
Nun machen wir beide Seiten der Gleichung zum Argument einer nicht-injektiven Funktion f.	f(x)= f(a)
Wir nehmen nun an, dass beide Gleichungen die gleichen Lösungen haben,also äquivalent sind. Äquivalente Gleichungen kann man aber ineinander überführen. Dazu müßten wir hier auf beiden Seiten der Gleichung die Umkehrfunktion f–1 anwenden. Funktion und Umkehrfunktion heben sich ja bekanntermaßen gegenseitig auf.	f–1(f(x))  =  f –1(f(a))
Dies ist ein aber Widerspruch. Weil f nicht injektiv ist, hat f keine Umkehrfunktion, sondern nur eine Umkehrrelation.