Einführendes
Beispiel
für die Regel
von L'Hospital |
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Einführung |
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Im Kurs "Grenzwerte von Funktionen"
haben wir Grenzwerte
von gebrochen rationalen Funktionen berechnet, und zwar auch
an Stellen, an denen Zähler und Nenner beide eine Nullstelle
haben, also der unbestimmte Ausdruck 0:0 entsteht.
Zur Lösung benutzten wir Methoden wie Linearfaktorenzerlegung, Polynomdivision, h-Methode
und Ausklammern (Beispiel):
Alle diese Methoden helfen nichts, wenn der unbestimmte
Ausdruck 0:0 auftritt, aber eine nichtrationale Funktion vorliegt:
Mann kann aber mit der sogenannten Regel von de L'Hospital
dieses Problem lösen. Dazu muß man Zähler und Nenner zuerst
differenzieren (Hilfe zum Differenzieren
einer log-Funktion):
Mit Hilfe der Regeln der Bruchrechnung beseitigen wir den
Doppelbruch, und wenden dann die Grenzwertsätze für die
identische Funktion (x) und die konstante Funktion (ln10) an:
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Regel von L'Hospital (Grobe Version) |
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Hier erstmal eine ganz grobe Version der Regel
von L'Hospital:
Ist der Grenzwert eines Bruches an einer Stelle
x0 gesucht, an der die Grenzwerte von Zähler und Nenner zu Null werden,
dann erhält man den Grenzwert indem man Zähler und Nenner zuerst einzeln differenziert
und dann den Grenzwert bildet:
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