Hinweis: Für die Herleitung (Beweis) werden nur die Regeln der Bruch- und Potenzrechnung benötigt, sowie die Grenzwertsätze.

Gesucht ist der folgende Grenzwert, wenn f(x) und g(x) für x gegen a beide gegen Unendlich gehen:


Wir benutzen eine Regel aus der Bruchrechnung (Doppelbruch-Regel) und erhalten:

Weil g(x) gegen Unendlich geht, geht gegen 0. Das gleiche gilt für den Zähler:


Wir dürfen also auf diesen Ausdruck die Regel von L'Hospital anwenden.
Dies wiederum bedeutet, wir müssen Zähler und Nenner differenzieren.
Dazu benutzen wird die Quotientenregel der Differentialrechnung:



Den Ausdruck kann man mit Hilfer der Bruchrechnung vereinfachen:



Nun benutzen wir den Grenzwertsatz über Produke:


Den ersten Grenzwert kann man mit dem "Potenzgesetz für Quotienten" vereinfachen:



Wir schreiben nun die Ausgangsgleichung und unser Ergebnis nochmal auf:


Als nächstes müssen wir eine Substitution durchführen:


Wir teilen die Gleichung durch q²:



Rücksubstitution durchführen ergibt:



Gleichung umstellen:



Grenzwertsatz für Kehrwerte anwenden:



Mit Hilfer der Bruchrechnung den Quotienten vereinfachen (Doppelbruch-Regel):