Den bis jetzt nur anhand der Anschauung
definierten Begriff "Grenzwert" wollen wir nun durch eine Formel definieren:
Eine Funktion f(x) hat genau dann an der Stelle
x0 den
Grenzwert g, wenn jede gegen x0 konvergente Folge (xn)
eine gegen g konvergente Bildfolge f(xn) hat:
mit: xnDf und:
mit: xnx0
Hinweis: Um die Folgen zu Unterscheiden,
werden wir hier nicht
jede dieser Folgen (xn) nennen, sondern auch (yn) und (zn).
Bild und Anmerkungen
g ist der Grenzwert der Funktion an der Stelle x0. (xn) und (yn) sind gegen x0
konvergente Folgen (Urbildfolgen) f(xn) und f(yn) sind die Bildfolgen
der Urbildfolgen (xn) bzw. (yn) Genauere Erklärungen auf den nächsten Seiten (Beispiele)
Anmerkung 1:
Im Bild haben wir nur zwei Bildfolgen f(xn) und f(yn)
daraufhin
überprüft, ob sie gegen den gleichen Wert g konvergieren. Laut
Definiton müßte man aber jede gegen x0 konvergente Folge
dahingehend überprüfen, ob ihre Bildfolge gegen g konvergiert.
Da es nicht möglich ist alle Folge zu überprüfen (es sind unendlich
viele), eignet sich die Folgendefinition mehr dazu zu beweisen,
daß an einer Stelle kein Grenzwert g existiert:
Dazu muß man nur zwei gegen x0 konvergente Folge finden,
deren Bildfolge nicht gegen den gleichen Wert g konvergieren.
Meist reicht es schon aus, eine von links gegen x0 mit einer von
rechts gegen x0 konvergierenden Folge zu vergleichen.
Anmerkung 2:
Damit bei x0 ein Grenzwert existiert muß die Funktion bei x0
nicht unbedingt definiert sein.
Df und:
mit: xn
x0 
g ist der Grenzwert der Funktion an der Stelle x0.