Beispiel 2
Eine Stelle
ohne Grenzwert |
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Beispiel |
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In diesem Beispiel wollen wir prüfen, ob die
Funktion im Bild
an der Stelle x0 einen Grenzwert hat, und wenn ja, welchen:
Dazu nehmen wir eine Folge (xn) mit den
Gliedern x1,x2, ... ,xn
aus, die von links gegen x0 konvergiert. Man sieht im Bild:
Die Bilder f(xn) dieser Folge (durch schwarze Quadrate
gekennzeichnet) konvergieren gegen den Grenzwert g:
Jetzt müssen wir eine Folge finden die von rechts gegen x0 konvergiert.
Die Folge (yn) sei eine solche. Dann müssen wir untersuchen,
ob die Bilder f(yn) dieser Folge ebenfalls gegen g konvergieren.
Wie man sieht konvergieren die Bilder f(yn) nicht gegen g sondern
gegen h, und somit hat die Funktion bei x0 keinen Grenzwert:
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