Anwendungsbereich
der Folgendefinition |
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Beispiel |
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Um einen Grenzwert bei x=0 zu vermuten, geht man
so vor:
Man vergleicht nur die Bilder (rot) einer von links gegen x0
konvergierenden Folge, mit den Bildern (blau) einer von rechts
gegen x0 konvergierenden Folge. Haben beide Bildfolgen
den
gleichen Grenzwert g, dann ist die Wahrscheinlichkeit groß,
daß die Funktion den Grenzwert g an der Stelle x0
hat:
Nun zeigen wir, daß diese Vermutung nicht zu
stimmen braucht:
Als Gegenbeispiel betrachten wir wieder die Funktion f(x)=sin(1/x).
Nun wählen wir eine Bildfolge (blau) deren
Urbildfolge (grün)
von links gegen x=0 konvergiert, und eine Bildfolge (rot) deren
Urbildfolge (schwarz) von rechts gegen x=0 konvergiert.
Die Urbildfolgen haben wir allerdings so gewählt, daß ihre Bilder
genau auf den "Spitzen" der Funktion f(x)=sin(1/x) zu finden sind:
Dadurch haben wir nun eine Bildfolge (blau) die von
links gegen g
konvergiert, und eine Bildfolge (rot) die von rechts gegen g
konvergiert (und deren Urbildfolgen gegen x=0 konvergieren).
Trotzdem ist g nicht der Grenzwert für x 0 , was man leicht zeigen
kann indem man eine dritte Folge findet, die zwar gegen x=0
konvergiert, deren Bildfolge (gelb) aber nicht gegen g konvergiert:
Fazit: Man muß also tatsächlich den
Grenzwert aller Bildfolgen prüfen,
(deren Urbildfolgen gegen x=0 konvergieren), und nicht nur die Bilder
einer von links und einer von rechts gegen x=0 konvergierenden Folge.
Da dies nicht möglich ist, dient die Folgendefinition bei
der Praxis der Grenzwertberechnung nur zu 2 Dingen:
1. Dem Vermuten eines Grenzwertes. Der Beweis des
Grenzwertes muß man anders führen, wie wir
noch
lernen werden.
2. Dem Beweis, daß ein Grenzwert nicht existiert.
Dazu muß man nur zwei Bildfolgen finden die nicht
gegen den gleichen Wert konvergieren (obwohl ihre
Urbildfolgen gegen den gleichen Wert konvergieren). |
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