Grenzwert-
berechnung
an Nullstellen
des Nenners:
Methode:
Polynomdivision |
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Die Problemstellung |
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Auf den vorigen Seiten hatten wir zwei Methoden
kennengelernt,
mit denen man den Grenzwert einer gebrochen-rationalen
Funktion berechnen kann, wenn der Grenzwert an einer
Nullstelle des Nenners gesucht ist (wie schon öfter erwähnt
darf man dann den Grenzwertsatz für Quotienten nicht anwenden).
Wir hatten dazu die Methoden "Ausklammern" und "Linear-
faktorenzerlegung" kennengelernt. Bei der Linearfaktoren-
zerlegung zerlegten wir ein Polynom 2.Grades:
Für die Linearfaktorenzerlegung eines Polynoms 3.Grades mit
Absolutglied müßte man aber eine Gleichung 3.Grades lösen,
um die Linearfaktoren zu ermitteln. Da man dies in der Schule
jedoch normalerweise nicht lernt, empfiehlt es sich bei der
Grenzwertberechung von gebrochen-rationalen Funktionen
an den Nullstellen des Nenners ab Polynomen 3. Grades mit
Absolutglied das Verfahren der Polynomdivision. |
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Beispiel |
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Gesucht ist der Grenzwert:
Wir berechnen den Bruch durch Polynomdivision:
Da die Polynomdivision ohne Rest aufgeht, können wir den Bruch
als x²–5x+6 schreiben. Diesen Grenzwert kann man dann leicht
berechnen1, da ein Polynom (ganzrationaler Term) vorliegt:
1 wie im Kapitel 4 gelernt, müssen wir nur x=1 einsetzen, da der Grenzwert
eines Polynoms für x x0 gleich dem Funktionswert an der Stelle x0
ist. |
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