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Inhalt zu: Gruppen I                                ZURÜCK

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Definition
einer Gruppe
tr1s0p1.pcx (3186 Byte)
Die Menge Eine Gruppe besteht grob gesagt aus einer Menge und einer Verknüpfung.
Als Menge wählen wir die Menge der 2x2 Matrizen gegeben.
Die Verknüpfung Als Verknüpfung wählen wir die Addition zweier 2x2 Matrizen.
Abgeschlossenheit
der Verknüpfung
Verknüpft man zwei Elemente der Gruppe, so muß das Ergebnis ein
Element der Gruppe sein. Für unser Beispiel heißt das: Addiert man
zwei 2x2 Matrizen, so entsteht eine 2x2 Matrix.

Die Tatsache, daß eine Verknüpfung (auf der Menge G) abgeschlossen
ist, kann man auch anders ausdrücken. Man kann sagen: Die Verknüpfung
ist eine innere Verknüpfung in der Menge G. Man schreibt: G×Gl-subj.pcx (204 Byte)G
Assoziativität Die Gruppen-Verknüpfung a-verknü.pcx (205 Byte) muß assoziativ sein. Für unser Beispiel
heißt dies: Die Addition von 2x2 Matrizen muß assoziativ sein.
Neutrales
Element
Bezüglich der Gruppenverknüpfung muß es ein neutrales Element
geben. Im Beispiel ist die Null-Matrix das neutrale Element.
Inverse
Elemente
Bezüglich der Gruppenverknüpfung, muß es zu jedem Element ein
inverses Element geben. Im unserem Beispiel ist dies eine Matrix
mit inversen Vorzeichen.
Kommutative
Gruppen
Gilt zu den soeben erklärten vier Gesetzen (Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz inverser
Elemente) zusätzlich noch das Kommutativgesetz, so spricht man von
einer kommutativen Gruppe. Unsere Beispiel-Gruppe (2x2-Matrizen)
ist eine kommutative Gruppe.