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Gruppen I ZURÜCK |
| Abgeschlossenheit der Verknüpfung |
 VorbemerkungIn der "Definition einer Gruppe" haben wir gesagt, daß eine Gruppe aus einer Menge und einer Verknüpfung in ihr besteht. Die Verknüpfung muß aber über ein paar besondere Eigenschaften verfügen, z.B. muß sie auf der Menge "abgeschlossen" sein. Wiederholung: Abgeschlossene VerknüpfungAbgeschlossenheit in einer Menge G bedeutet folgendes: Wenn man zwei Elemente der Menge G verknüpft, dann ist das Ergebnis auch wieder ein Element der Menge G. Beispiel: Abgeschlossene VerknüpfungUm ein Beispiel für eine abgeschlossene Verknüpfung anzugeben, wählen wir folgende Menge und Verknüpfung: Gegeben sei die Menge der geraden Zahlen und die Verknüpfung die Addition gerader Zahlen. Addiert man zwei gerade Zahlen, dann ist das Ergebnis wieder eine gerade Zahl, z.B.: 2 + 2 = 4 102 + 300 = 402 70 + 70 = 140 Beispiel: Nichtabgeschlossene VerknüpfungUm ein Beispiel für eine nicht abgeschlossene Verknüpfung anzugeben, wählen wir folgende Menge und Verknüpfung: Gegeben sei die Menge der ungeraden Zahlen und die Verknüpfung die Addition ungerader Zahlen. Addiert man zwei ungerade Zahlen, dann kann eine Zahl herauskommen, die nicht ungerade, also gerade ist, z.B.: 3 + 3 = 6 Abgeschlossenheit unserer Beispiel-GruppeNun müssen wir natürlich überprüfen, ob unsere Beispiel- Verknüpfung R die Forderung nach Abgeschlossenheit erfüllt: Da die Addition zweier 2x2 Matrizen wieder eine 2x2 Matrix ergibt, ist die Verknüpfung Addition in der Menge der 2x2 Matrizen abgeschlossen. Andere Formulierung für AbgeschlossenheitAnstatt zu sagen, die Verknüpfung ist auf der Menge G abgeschlossen, kann man auch sagen: Die Verknüpfung ist eine innere Verknüpfung auf der Menge G, also eine Verknüpfung der Art: G×G  G |