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Gruppen I                                                              ZURÜCK

Existenz
inverser
Elemente
a-absatz.pcx (280 Byte)Vorbemerkung
       Auf der Vorseite hatten wir gesagt: Die Verknüpfung in einer
       Gruppe muß abgeschlossen sein, und drei Gesetze erfüllen.
       Diese Seite erklärt das dritte Gesetz (Gesetz über die
       Existenz eines inverser Elemente).

a-absatz.pcx (280 Byte)
Wiederholung: Inverse Elemente
       Zuerst wollen wir zur Schulmathematik zurückspringen,
       und den Begriff "Inverses Element" wiederholen.
       Nehmen wir an, wir addieren folgende zwei  Zahlen:

              3 + (-3) = 0

       Das Ergebnis (Null) ist gleich dem neutralen Element der Addition.
       Deshalb nennt man die Zahl -3, das zur Zahl 3 inverse Element
       bezüglich der Addition.

       Noch ein Beispiel: Jetzt führen wir eine Multiplikation aus:

              5a-mal.PCX (207 Byte)1/5 = 1
 
       Das Ergebnis (Eins) ist das neutrale Element der Multiplikation.
       Deshalb nennt man die Zahl 1/5 das zur Zahl 5 inverse Element
       bezüglich der Multiplikation.

a-absatz.pcx (280 Byte)
Inverse Elemente unserer Beispiel-Gruppe
       Nun stellt sich die Frage, wie die inversen Element bezüglich
       der Addition von 2x2 Matrizen heißen. Es sind die 2x2 Matrizen,
       deren Elemente entgegengesetzte Vorzeichen haben:

    gr1s8p1.pcx (5424 Byte)

       Beweis: Addiert man zur Matrix A die inverse Matrix B, so erhält
       man die Nullmatrix.
 
a-absatz.pcx (280 Byte)
Hinweis
       Man beachte den Unterschied: Für die Verknüpfung in einer Gruppe
       gilt: Es muß nur ein neutrales Element geben, aber es muß zu
       jedem Element ein inverses Element geben.