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Gruppen II                                                            ZURÜCK
Assoziativität und
Kommutativität
der Verknüpfung		 a-absatz.pcx (280 Byte)Assoziativität in unserer Beispiel-Gruppe

      In unserem Beispiel war die Menge G der Drehungen gegeben.
      Als Verknüpfung in dieser Menge hatten wir die "Hintereinander-
      Ausführung" zweier Drehungen gewählt.
 
      Nun wollen wir untersuchen, ob drei Drehungen assoziativ sind,
      d.h. ob z.B. folgende Drehungen zum gleichen Ergebnis führen:

           [(Drehung +90°) + (Drehung +180°)] + (Drehung +270°)  
            =  (Drehung +90°) + [(Drehung +180° + Drehung +270°)]  

        Da beide Rechnungen zum gleichen Ergebnis führen (540° Drehung)
        ist die Verknüpfung + auf der Menge G (Drehungen) assoziativ.

a-absatz.pcx (280 Byte)Kommutativität in unserer Beispiel-Gruppe

       Nun stellt sich die Frage, ob auch unsere Beispiel-Gruppe
       eine kommutative Gruppe ist. Überprüfen wir dies:

          Drehung +90°        +     Drehung +180°        =   Drehung +270°
          Drehung +180°      +     Drehung +90°          =   Drehung +270°

       Unsere Beispiel Gruppe scheint kommutativ zu sein, denn man
       kann die beiden Elemente (Drehungen) vertauschen. Untersuchen
       wir zur Sicherheit noch einen Fall:
 
          Drehung +180°       +    Drehung +270°        =   Drehung +450°  
          Drehung +270°       +    Drehung +180°        =   Drehung +450°  

       Der Beweis der Kommutativität beruht auf einer ganz simplen
       Überlegung: Wenn wir zwei Deckdrehungen addieren, dann
       addieren wir ja zwei reelle Zahlen, und die Addition reeller
       Zahlen ist kommutativ.