Mehrdeutigkeit der StammfunktionNun gibt es aber eine wichtige Sache, die man im Bezug
auf Stammfunktionen unbedingt berücksichtigen muß:
Zu einer gegebenen
Funktion f(x) gibt es nicht nur eine
Stammfunktion F(x), sondern zu jeder Funktion f(x) gibt
es unendlich viele Stammfunktionen F(x),
die sich durch eine Konstante unterscheiden.
BeispielGegeben sei wieder die Funktion:
f(x): y = 2x
Nun ist die Funktion F(x): y = x² eine Stammfunktion dieser
Funktion, was man leicht durch ableiten von F(x) überprüfen
kann. Wir halten fest:
y = x² ist eine Stammfunktion von y = 2x
Nun betrachten wir eine dritte Funktion G(x) = x² + 5
Auch dies ist ein Stammfunktion von f(x), wie wir wider
durch ableiten überprüfen kann:
y = x² + 5 ist eine Stammfunktion von y = 2x
Allgemein gilt nun, daß jede Funktion der Form:
F(x)= x²+ c mit c = Konstante
eine Stammfunktion der Funktion f(x)=2x ist.
Der Grund ist dafür ist, daß die Konstante c ja beim Ableiten wegfällt.
Ein Beispiel für das "Wegfallen" der Konstanten:
F(x)=x²+99 Ableitung: f(x)=2x
F(x)=x²+77 Ableitung: f(x)=2x
F(x)=x²+33 Ableitung: f(x)=2x
Wir sehen: Egal wie groß die Konstante ist, die Ableitung ist immer gleich 2x.
Ableitung: f(x)=2x
F(x)=x²+77