Version: Test
©Raddy 2000

Körper I ZURÜCK

Ein Beispiel:
Der Körper der
rationalen Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen
       Die Menge der rationalen Zahlen haben wir schon kennengelernt.
       Es ist die Menge aller ganzen Zahlen vereinigt mit der Menge der
       endlichen Bruchzahlen.

       Aus der Definition des Körpers wissen wir aber, daß zu einem
       Körper mehr gehört: Neben der Menge müssen zwei Verknüpfungen
       definiert sein und es müssen einige Gesetze gelten.

       Auf dieser Seite zeigen wir, das es zwei solche Verknüpfungen
       gibt, die aus der Menge der reellen Zahlen den Körper der
       reellen Zahlen machen.

Der Körper der rationalen Zahlen
       Um aus der Menge der rationalen Zahlen den Körper der rationalen
       Zahlen zu machen, müssen wir 2 Verknüpfungen finden, die bezüglich
       der Menge der rationalen Zahlen abgeschlossen sind, und die alle
       in der Definition angesprochenen Gesetze erfüllen. Es sind dies die
       beiden Verknüpfungen "+" und "·" , also die Addition und die
       Multiplikation. Um dies zu überprüfen, müssen wir überprüfen ob
       die beiden Verknüpfungen "+" und "·" alle Gesetze erfüllen:

Zuerst überlegen wir, ob die beiden Verknüpfungen bezüglich
       der Menge der rationalen Zahlen abgeschlossen sind. Dies ist
       der Fall, den sowohl die Addition als auch die Multiplikation
       zweier rationaler Zahlen ergibt wieder eine rationale Zahl.

Nun überprüfen wir ob die Gesetze gültig sind. Beispielsweise gilt:

         1.Assoziativgesetz:                   3+(5+2)=(3+5)+2    3·(5·2)=(3·5)·2
         2.Existenz neutraler Elemente: 3+0 = 3                      3·1 = 3
         3.Existenz inverser Elemente:   3+(-3) = 0                  3·(1/3) = 1
         4.Kommutativgesetz:             3+5 = 5+3                  3·5 = 5·3

         Wir sehen: Assoziativ- und Kommutativgesetz gelten. Das neutrale
         Element der Addition ist die 0, das neutrale Element der
         Multiplikation ist die 1. Das inverse Element der Addition ist
         das jeweils das Element mit gegenteiligen Vorzeichen, das inverse
         Element der Multiplikation ist der jeweilige Kehrwert.

Als drittes und letztes müssen wir noch überprüfen, ob in
       Ausdrücken in denen beide Verknüpfungen vorkommen
       die beiden Distributivgesetze gelten:

         1.Distributivgesetz:                    3·(5+2) = 3·5+3·2
         2.Distributivgesetz:                    (5+2)·3 = 5·3+2·3

       Wie wir sehen ergibt die Menge Q der rationalen Zahlen zusammen
       mit den Verknüpfungen + und · einen Körper. Man schreibt diesen
       Körper auch kurz: (Q,+,·)