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Körper I ZURÜCK |
| Beispiel zu Unterkörpern |
 VorbemerkungEin bekanntes Beispiel für einen Unterkörper ist der Körper der rationalen Zahlen, der ein Unterkörper des Körpers der reellen Zahlen ist. Dies wollen wir wie auf der Vorseite beschrieben beweisen: Der Beweis Zuerst müssen wir
überprüfen, ob die beiden Verknüpfungen auch bezüglich der Teilmenge abgeschlossen sind. Die Teilmenge ist in unseren Fall die Menge Q der rationalen Zahlen: Sowohl die Addition als auch die Multiplikation zweier rationaler Zahlen ergeben eine rationale Zahl. Somit sind die beiden Verknüpfungen in der Menge der rationalen Zahlen abgeschlossen.  Zweitens müssen wir prüfen, ob Assoziativ- und Kommutativgesetz auch in der Teilmenge gelten: Das das Assoziativ- und das Kommutativgesetz für die für die Addition und die Multiplikation rationaler Zahlen gelten, wissen wir seit dem 7. Schuljahr. Wir wissen alle das z.B. 3+5 das gleiche ist wie 5+3 usw.  Drittens müssen wir prüfen, ob auch neutrale und inverseElemente in der Teilmenge vorhanden sind. Das neutrale Element der Addition ist die 0. Die Null ist in der Teilmenge vorhanden. Das neutrale Element der Multiplikation ist die 1. Die Eins ist in der Teilmenge vorhanden. Das inverse Elemente der Addition ist die Gegenzahl. Z.B. ist -0.54 die Gegenzahl zu 0.54. Die Gegenzahl einer rationalen Zahl ist immer selbst eine rationale Zahl, und in der Teilmenge vorhanden. Das inverse Elemente der Multiplikation ist der Kehrwert. Z.B. ist 1/3 der Kehrwert von 3. Der Kehrwert einer einer rationalen Zahl ist immer selbst eine rationale Zahl, und somit in der Teilmenge vorhanden.  Schließlich müssen wir überprüfen, ob auch in der Teilmengedie beiden Distributivgesetze gelten: Das z.B. das Distributivgesetz a·(b+c) = a·b + a·c gilt, wissen wir aus unserer Schulzeit. Man nennt die Regel im allgemeinen Sprachgebrauch "eine Klammer ausmultiplizieren". |