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Äquivalenzumformungen |
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Äquivalenzumformungen |
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Betrachten wir nun nochmals das Beispiel einer Gleichung von der vorigen
Seite:
x + 2 = 5
Wir hatten geraten, dass die Lösung die Zahl 3 ist, also dass x=3.
Doch wie löst man solche Gleichungen allgemein?
Dazu benutzt man Äquivalenzumformungen. Dies sind Umformungen der
Gleichung, die die Lösung der Gleichung unverändert lassen, wenn man sie
auf die Gleichung anwendet. Beispiel:
Eine Äquivalenzumformung wäre es zum Beispiel, wenn man auf
beiden Seiten der Gleichung die Zahl 8 addiert:
x + 2 + 8 = 5 + 8
Wir vereinfachen die Gleichung und erhalten:
x + 10 = 13
Die Lösung dieser Gleichung ist immer noch die Zahl 3, also x=3,
denn setzt man die Zahl 3 für x ein, so entsteht die wahre Aussage
13=13.
Wir halten fest:
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung,
die die Lösungsmenge nicht ändert. |
Auf den nächsten Seiten werden wir mit Hilfe des Waagemodells
beweisen,
dass die folgenden Umformungen Äquivalenzumformungen sind:
1. Die Addition oder die Subtraktion einer bestimmten Zahl
oder der Variable x auf beiden
Seiten der
Gleichung.
2. Die Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl (außer mit
Null).
3. Die Division einer Gleichung durch eine Zahl (außer durch
Null). |
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Sinnvolle
Äquivalenzumformungen |
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Betrachten wir nun nochmals das Beispiel:
x + 2 = 5
Wir hatten im Beispiel oben auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 8
addiert.
x + 2 + 8 = 5 + 8
Dies war zwar eine Äquivalenzumformung, weil die Lösungsmenge gleich
blieb,
aber durch die Äquivalenzumformung wurde die Gleichung nicht einfacher.
Eine sinnvollere Äquivalenzumformung wäre es, wenn wir auf beiden Seiten
der Gleichung die Zahl 2 subtrahieren:
x + 2 – 2 = 5 – 2
Wir vereinfachen beide Seiten, indem wir die Subtraktionen durchführen:
x = 3
Jetzt können wir die Lösung direkt ablesen: Die Zahl 3 ist die Lösung
der
Gleichung, denn wenn wir für x die Zahl 3 einsetzen, dann erhalten wir
die wahre Aussage: 3=3 |
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