Worum geht es:

Der folgende Beweis kann übersprungen werden, er ist nur für interessierte Leser:

Wir wollen nun zeigen, warum bei Anwendung des 3.Logarithmusgesetzes
(Leserichtung: links nach rechts) Lösungen hinzukommen können,
sodaß wir gezwungen sind eine Probe zu machen.
 

Beweis:

Wir betrachten als Beispiel die folgende Logarithmusgleichung.
Sie hat als Definitionsbereich die positiven reelen Zahlen ohne Null:

Nun wenden wir das 3.Logarithmusgesetz an. Der Definitonsbereich vergrößert sich
auf alle reellen Zahlen außer Null, denn nun können wir auch negative Zahlen
für x einsetzen, ohne dass der Logrithmus undefiniert wird.

Wenn sich aber der Definitionsbereich vergrößert, dann können auch Lösungen
hinzukommen, falls diese im vergrößerten Teil des Definitionsbereichs liegen.

In unserem Beispiel ist die Scheinlösung x=–3 zur ursprünglichen Lösung x=3  hinzugekommen.