Logarithmus im Exponenten des Numerus

Theorie:

Jetzt betrachten wir Logarithmusgleichungen, die einen Logarithmus im Exponenten haben.
Bei solchen Gleichungen weiß man nicht, ob der Logarithmus eine gerade, ungerade oder reelle Zahl ist.
Daher muß man - zur Sicherheit - von einem geraden Exponenten ausgehen und ein Betragszeichen setzen:
Beispiel:

Gegeben sei die folgende Logarithmusgleichung. Wir gehen vom schlimmsten Fall aus, d.h. wir vermuten der Exponent log2x2 wäre eine gerade Zahl. Dann bestände der Definitionsbereich aus allen reellen Zahlen ohne Null D=R*

 wpeF.jpg (1762 Byte)

Nun wenden wir das 3. Logarithmusgesetz an. Da man nicht weiß,
ob der Exponent eine gerade, ungerade oder gebrochene Zahl ist,
müssen wir vom schlimmsten Fall ausgehen, also von einer geraden Zahl,
und ein Betragszeichen um den Numerus machen:

wpe14.jpg (2330 Byte)
Jetzt wenden wir das 3.Logarithmusgesetz nochmal an, und zwar
auf den linken Logarithmus. Weil der Exponent eine gerade Zahl ist,
müssen wir hier wieder den Betrag des Numerus bilden:		 wpe1A.jpg (1801 Byte)
Beide Seiten durch 2 teilen: wpe15.jpg (1625 Byte)
Das Produkt als Potenz schreiben: wpe16.jpg (1347 Byte)
Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen: wpe17.jpg (1811 Byte)
Formel für "Wurzel einer Potenz" anwenden: wpe18.jpg (1320 Byte)
Äußere Betragsgleichung lösen: wpe1D.jpg (1914 Byte)
Definition des Logarithmus anwenden: wpe1E.jpg (1566 Byte)
Beide Betragsgleichungen lösen. Wir erhalten 4 Ergebnisse: wpe1F.jpg (1398 Byte)
Probe:
 
Lösungsmenge:
Weil alle 4 Ergebnisse bei der Probe eine wahre Aussage ergeben, lautet die Lösungsmenge:
Hinweis: Hätten wir die Betragszeichen nicht gesetzt, wären die negativen Lösungen verloren gegangen!