Die Logarithmengesetze sind eigentlich nur für positive Numeri (r bzw. s) definiert:
Bei Anwendung der Logarithmusgesetze
auf Logarithmusgleichungen gibt es daher Probleme,
denn die Numeri enthalten Variablen und können daher auch negativ
werden. Was geschieht genau?
Um diese Frage zu klären, betrachten wir die folgende
Logarithmusgleichung. Weil Logarithmen
nur für positve Numeri (ohne Null) definiert sind, besteht
der Definitionsbereich aus D=R>0 :
Wir wenden das 1.Logarithmusgesetz an. Der Definitionsbereich
vergrößt sich auf
die positiven und negativen reellen Zahlen (ohne Null), d.h.
es gilt D=R*
Weil sich der Definitionsbereich vergrößert hat, können Lösungen
hinzugekommen sein,
wenn diesem im erweiterten Teil des Definitionsbereichs liegen.
Daher ist die Probe nötig.
In unserem Beispiel ist zur ursprünglichen Lösung x=4 die
Scheinlösung x=–4 hinzugekommen.
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