Wir kommen nun zu
Logarithmusgleichungen die mit den bis jetzt
behandelten Lösungsverfahren nicht oder nur
umständlich lösbar sind.
Als Beispiel betrachten wir die Gleichung:
2.Substitutionsgleichung aufstellen:
Hier kommt zweimal der gleiche
Logarithmus log10(x+7) vor.
Wir ersetzen (substituieren) den Logarithmus
durch u,
d.h. die Substitutionsgleichung lautet:
3.Substitution:
Nun führen wir die
eigentlich Substitution durch.
In der gegebenen Gleichung ersetzen wir
den Logarithmus durch u:
Die nun entstandene lineare Gleichung
läßt sich durch einige einfache
Umstellungen lösen:
Die Klammer ausmultiplizieren:
Umstellen nach u ergibt:
4.Rücksubstitution:
Das Ergebnis setzen wir
in die Substitutionsgleichung (2) ein:
Um diese einfache Logarithmusgleichung
zu lösen,
benutzen wir wie üblich die "Definition
des Logarithmus":
Wir stellen die Gleichung nach x um, und
erhalten das Ergebnis:
5.Die Probe:
Eigentlich wäre hier
keine Probe nötig. Wir hatten aber
vereinbart,
daß wir die Probe prinzipiell immer
durchführen wollen:
Es ergibt sich eine wahre Aussage. Die
Lösungsmenge lautet also:
