Substitution

1.Gegeben:

Wir kommen nun zu Logarithmusgleichungen die mit den bis jetzt
behandelten Lösungsverfahren nicht oder nur umständlich lösbar sind.
Als Beispiel betrachten wir die Gleichung:

2.Substitutionsgleichung aufstellen:

Hier kommt zweimal der gleiche Logarithmus log10(x+7) vor.
Wir ersetzen (substituieren) den Logarithmus durch u,
d.h. die Substitutionsgleichung lautet:

3.Substitution:

Nun führen wir die eigentlich Substitution durch.
In der gegebenen Gleichung ersetzen wir den Logarithmus durch u:

Die nun entstandene lineare Gleichung läßt sich durch einige einfache Umstellungen lösen:

Die Klammer ausmultiplizieren:

Umstellen nach u ergibt:

4.Rücksubstitution:

Das Ergebnis setzen wir in die Substitutionsgleichung (2) ein:

Um diese einfache Logarithmusgleichung zu lösen,
benutzen wir wie üblich die "Definition des Logarithmus":

Wir stellen die Gleichung nach x um, und erhalten das Ergebnis:

5.Die Probe:

Eigentlich wäre hier keine Probe nötig. Wir hatten aber vereinbart,
daß wir die Probe prinzipiell immer durchführen wollen:



Es ergibt sich eine wahre Aussage. Die Lösungsmenge lautet also:

6.Lösungsmenge: