Erklärung
Gegeben seien also die beiden Nullfolgen {an} und {bn}.
Die Frage ist nun, ob {an+bn} auch eine Nullfolge ist.

Wenn die Folge {an+bn} eine Nullfolge sein soll, dann 
muß es zu jedem noch so kleinem  eine Zahl N() geben, 
ab der gilt  an+bn <   . Dies werden wir beweisen:


Zuerst zeichnen wir noch die Nullfolgen an und bn ein.
Dann zeichnen wir 0 ein, wobei  0 = ½ ·  sein soll:

 

Dann betrachten wir den Punkt N0(0), an dem sowohl 
an als auch bn kleiner als 0 sind. Weil aber 0 genau 
die Hälfte von  ist, ist die Folge {an+bn} dort auf 
jeden Fall kleiner oder gleich , was zu beweisen war.

Anmerkung: Natürlich ist die Folge {an+bn} schon am 
Punkt N() kleiner als , und nicht erst am Punkt N0(0). 
Uns aber ging es ja nur um den Beweis, daß es überhaupt 
einen Punkt gibt, ab dem  die Folge {an+bn} kleiner als
ein beliebig kleines  ist.