Wenn eine Reihe konvergiert, dann
konvergieren
ihre Summanden gegen Null.
Da das Kriterium ein notwendiges aber kein hinreichendes
Kriterium
für die Konvergenz einer Reihe ist, ist nur die Kontraposition
des Satzes praktisch benutzbar (näheres dazu am Ende der Seite):
Wenn die Summanden einer Reihe nicht
gegen Null konvergieren,
dann konvergiert die Reihe nicht (und somit divergiert
sie).
Beispiel:
Die Summanden dieser Reihe konvergieren nicht gegen Null,
sondern gegen 1,
und daher ist eine Konvergenz der Reihe unmöglich: Sie
divergiert.
Veranschaulichung
Man kann sich dieses Kriterium veranschaulichen: Nehmen wir an,
wir bauen einen Turm, wobei die Höhe der Bausteine nicht gegen
Null geht.
Dann wächst der Turm immer weiter ins Unendliche (die Höhe divergiert),
wenn wir genügend Bausteine übereinander stapeln.
Anmerkung 1: Die Umkehrung des
Satzes ist falsch!
Entgegen der Anschauung gilt der Satz nicht in umgekehrter
Richtung!
Es gibt nämlich durchaus Reihen, deren Summanden zwar gegen Null
konvergieren, jedoch ohne dass die Reihe selbst konvergiert.
Das klassische Beispiel ist die sogenannte "harmonische Reihe":
Obwohl die Summanden 1/n dieser Reihe gegen Null konvergieren,
konvergiert diese Reihe nicht, was schon 1689 von Jakob Bernoulli
bewiesen wurde. Die Anschauung versagt hier vollkommen.
Anmerkung 2:
Divergenzkriterium
Da das Nullfolgenkriterium zwar ein notwendiges aber kein
hinreichendes Kriterium ist, kann man mit dem Kriterium nur
die Divergenz aber nicht die Konvergenz einer Reihe beweisen.
Das Nullfolgenkriterium ist also ein Divergenzkriterium
und kein Konvergenzkriterium!
Beweis (nur für Interessierte, kann übergangen werden):
Formallogisch beweißt man dies durch Kontraposition.
Das Nullfolgenkriterium lautet:
Nun wenden wir die Kontraposition an, indem wir beide Aussagen negieren
und den Implikationspfeil umdrehen:
Eine Reihe, die nicht konvergiert, divergiert. Somit gilt:
