Wir wollen das Potenzgesetz 1a für ganzzahlige
Exponenten
beweisen, und zwar den Fall, daß einer der Exponenten negativ ist.
Wir wählen, daß der Exponent s negativ sein soll:
Weil s laut Voraussetzung negativ ist, dürfen wir für s schreiben:
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:
Nun wenden wir die Definition von Potenzen mit negativen
Exponenten an: Wenn man den Kehrwert der Potenz bildet,
wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
Beide Faktoren als ein Bruch schreiben:
Weil beide Potenzen positive Exponenten haben (Beträge sind ja
immer positiv) dürfen wir das (alte) Potenzgesetz für natürliche
Exponenten anwenden, und erhalten:
Am Anfang des Beweises hatten wir für s=-|s| geschrieben. Dies
machen wir nun wieder rückgängig, und erhalten die Lösung:
