Beweis des
Potenzgesetz
1b / Fall 1 |
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Fall 1: Beide Exponenten sind negativ |
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Wir wollen das Potenzgesetz 1b für ganzzahlige
Exponenten
beweisen, und zwar den Fall, daß beide Exponenten negativ sind:
Weil r und s laut Voraussetzung negativ sind, dürfen wir
für r bzw. s schreiben:
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:
Nun wenden wir die Definition von Potenzen mit negativen
Exponenten an: Wenn man den Kehrwert der Potenz bildet,
wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
Aus der Bruchrechnung wissen wir: Zwei Brüche werden dividiert,
indem man den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert:
Weil beide Potenzen positive Exponenten haben (Beträge sind ja
immer positiv) dürfen wir das (alte) Potenzgesetz für natürliche
Exponenten anwenden, und erhalten:
Am Anfang des Beweises hatten wir r ersetzt: r=-|r|
Dies machen wir nun rückgängig und schreiben für -|r| wieder r.
Außerdem hatten wir am Anfang des Beweises s ersetzt: s=-|s|
Wir formen diese Gleichung um: s=-|s|  -s=|s|
Wir dürfen also |s| durch -s ersetzen, und erhalten:
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