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Potenzen II                                                                               ZURÜCK

Beweis des
Potenzgesetz
1b / Fall 1
a-absatz.pcx (280 Byte) Fall 1: Beide Exponenten sind negativ
Wir wollen das Potenzgesetz 1b für ganzzahlige Exponenten
beweisen, und zwar den Fall, daß beide Exponenten negativ sind:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Weil r und s laut Voraussetzung negativ sind, dürfen wir
für r bzw. s schreiben:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:

p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Nun wenden wir die Definition von Potenzen mit negativen
Exponenten
an: Wenn man den Kehrwert der Potenz bildet,
wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Aus der Bruchrechnung wissen wir: Zwei Brüche werden dividiert,
indem man den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Weil beide Potenzen positive Exponenten haben (Beträge sind ja
immer positiv) dürfen wir das (alte) Potenzgesetz für natürliche
Exponenten anwenden, und erhalten:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Am Anfang des Beweises hatten wir r ersetzt: r=-|r| 
Dies machen wir nun rückgängig und schreiben  für -|r| wieder r.

Außerdem hatten wir am Anfang des Beweises s ersetzt: s=-|s| 
Wir formen diese Gleichung um:  s=-|s|  l-aequiv.pcx (217 Byte)  -s=|s|
Wir dürfen also |s| durch -s ersetzen, und erhalten:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)