Beweis des
Potenzgesetz 2b |
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Beweis des Potenzgesetz 2b |
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Wir wollen das Potenzgesetz 2a für ganzzahlige
Exponenten
beweisen, d.h. der Exponent r soll negativ sein:
Weil r laut Voraussetzung negativ ist, dürfen wir schreiben:
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:
Nun wenden wir auf den Zähler bzw. den Nenner die Definition
von Potenzen mit negativen Exponenten an: Wenn man den
Kehrwert der Potenz bildet, wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
Mit den Regeln der Bruchrechnung ergibt sich:
Weil beide Potenzen den positive Exponenten r haben (Beträge
sind ja immer positiv) dürfen wir das (alte) Potenzgesetz für
natürliche Exponenten anwenden, und erhalten:
Oben haben wir die Gleichung r=-|r| hergeleitet. Daraus wiederum
folgt -r=|r|. Wir setzen dies ein. Danach benutzen wir noch die Regel:
Bildet man den Kehrwert der Basis, so ändert der Exponent das
Vorzeichen:
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