Beweis des
Potenzgesetz
3 / Fall 2 |
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Beweis des Potenzgesetz 3 / Fall 2 |
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Wir wollen das Potenzgesetz 3 für ganzzahlige
Exponenten
beweisen. Wir betrachten den Fall 2, bei dem beide Exponenten
(r und s) negativ sein sind:
Weil r,s laut Voraussetzung negativ sind, dürfen wir schreiben:
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:
Nun wenden wir zweimal die Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten an: Wenn man den Kehrwert der Potenz
bildet, wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
Doppelbruch mit a|r| erweitern, Nenner wird dadurch zu 1:
Weil beide Potenzen den positive Exponenten r haben (Beträge
sind ja immer positiv) dürfen wir das (alte) 3.Potenzgesetz für
natürliche Exponenten anwenden, und erhalten:
Wir haben ganz oben bewiesen: r = -|r| . Daraus
folgt: -r = |r|
Genauso folgt: -s = |s| , und wir erhalten:
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