Sonderfall:
Schritt 5 des
Lösungsschemas
führt zu den
Sonderfällen:
(...)² > –a
oder
(...)² < –a |
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Erklärung |
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Manchmal kommt es vor, dass im Schritt 5 die Seite mit der
Konstanten
negativ wird.
Zwei Beispiele:
Der nächste Schritt (nach unserem Lösungsschema) wäre das Radizieren
beider Seiten.
Doch weil die rechte Seite negativ ist, können wir nicht radizieren,
denn aus einer
negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen.
Es ist aber auch garnicht nötig, weiter zu rechnen, denn es liegen zwei
Sonderfälle vor,
die wir schon aus dem vorigen Kapitel kennen:
Die linke Ungleichung ist immer wahr,
denn ein Quadrat ist immer nicht-negativ,
und somit größer als die negative Zahl –12. Die
Lösungsmenge ist somit gleich R.
Die rechte Ungleichung ist niemals wahr,
denn ein Quadrat ist immer nicht-negativ,
und kann daher nicht kleiner als sein, als die negative
Zahl –12.
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Beispiel |
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| 0 |
Gegeben sei
folgende quadratische Ungleichung: |
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| 1 |
Wir bringen die
Ungleichung auf Normalform, d.h.
der Koeffizient von x2 soll zu 1 werden. Dazu
teilen wir die Ungleichung durch den Koeffizienten
des quadratischen Gliedes, also durch –1. Beachte:
Weil wir duch eine negative Zahl teilen, müssen
wir das Ungleichheitszeichen umdrehen: |
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| 2 |
Wir vereinfachen: |
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| 3 |
Jetzt bringen wir
das konstante Glied (16) auf die
rechte Seite, indem wir auf beiden Seiten 16 subtrahieren: |
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| 4 |
Jetzt addieren
wir auf beiden Seiten die quadratische
Ergänzung, die wir aus dem Kurs Quadratische
Gleichungen kennen, und die sich so berechnet:
Nimm die Hälfte des Koeffizienten des Lineargliedes x
(4/2=2) und quadriere diese Zahl. Du erhältst 4: |
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| 5 |
Auf der linken
Seite ist das 1.Binom entstanden.
Zur Erinnerung: a2+2ab+b2=(a+b)2
Wende diese Formel jetzt an: |
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| 6 |
Wie gesagt müßten
wir nun eigentlich radizieren,
jedoch ist dies nicht möglich, weil die rechte Seite
negativ ist. Und wie bereits erklärt wurde, ist dies
auch nicht nötig, denn die Ungleichung ist bereits
gelöst:
Weil die rechte Seite stets nicht-negativ ist
(das Qudrat einer Zahl ist immer nicht-negativ),
und somit stets größer als –12, ist die Ungleichung
stets wahr. Die Lösungsmenge lautet also: L=R |
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