Beispiel:
Grenzwert kleiner 1 |
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Beispiel |
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Bestimme mit dem Quotientenkriterium, ob die folgende Reihe konvergiert
oder divergiert:
Die Formel für das Quotientenkriterium lautet:
Das Formel für das n-te Glied an können wir unmittelbar aus
der Aufgabe ablesen:
Um den Konvergenztest "Quotientenkriterium" anwenden zu können,
müssen wir aber noch an+1 bestimmen. Dies geschieht ganz
einfach dadurch,
dass wir alle "n" durch "n+1" ersetzen:
Diese Werte jetzt in das Quotientenkriterium einsetzen:
Mit den Mitteln der Bruchrechnung vereinfachen wir den Term: Man
dividiert
durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:
Wir multiplizieren beide Brüche:
Nun wenden wir die
Definition der
Fakulät an, sodass wir kürzen können:
Wir führen den Grenzwertübergang durch, d.h. wir ersetzen n durch
Unendlich:
Lösung:
Weil das Quotientenkriterium den Grenzwert Null ergibt, und Null kleiner
als 1 ist,
konvergiert die Reihe.
Anmerkung:
Mit dem Quotientenkriterium kann man berechnen, ob eine Reihe
konvergiert,
aber nicht, gegen welche Zahl die Reihe
konvergiert! |
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