Beispiel:
Grenzwert größer 1 |
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Beispiel |
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Bestimme mit dem Quotientenkriterium, ob die folgende Reihe konvergiert
oder divergiert:
Die Formel für das Quotientenkriterium lautet:
Das Formel für das n-te Glied an können wir unmittelbar aus
der Aufgabe ablesen:
Um den Konvergenztest "Quotientenkriterium" anwenden zu können,
müssen wir aber noch an+1 bestimmen. Dies geschieht ganz
einfach dadurch,
dass wir alle "n" durch "n+1" ersetzen:
Diese beiden Werte jetzt in das Quotientenkriterium einsetzen:
Mit den Mitteln der Bruchrechnung vereinfachen wir den Term (Zur
Erinnerung:
Man
dividiert
durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert):
Jetzt multiplizieren wir die beiden Brüche miteinander, wodurch
nur noch ein Bruchstrich übrig bleibt:
Jetzt zerlegen wir 3n+1 mit Hilfe des Potenzgesetzes: an+m=an·am
Dadurch können wir den Bruch mit 3n kürzen:
Jetzt dividieren wir Zähler und Nenner jeweils durch n100. Im
Zähler können
wir dann kürzen, im Nenner wenden wir ein Potenzgesetz an: an/bn
= (a/b)n :
Den Bruch im Nenner schreiben wir auseinander, und können dann kürzen:
Nun führen wir den Grenzwertübergang durch, d.h. wir ersetzen n
überall durch Unendlich:
Ergebnis:
Das Quotientenkriterium liefert den Wert 3,
und daher divergiert die gegebene Reihe. |
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