Beispiel:
Grenzwert kleiner 1 |
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Beispiel |
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Beweise mit dem Quotientenkriterium, dass die folgende Reihe konvergiert:
Die Formel für das Quotientenkriterium lautet:
Das Formel für das n-te Glied an können wir unmittelbar aus
der Aufgabe ablesen:
Um den Konvergenztest "Quotientenkriterium" anwenden zu können,
müssen wir aber noch an+1 bestimmen. Dies geschieht ganz
einfach dadurch,
dass wir alle "n" durch "n+1" ersetzen:
Diese beiden Werte jetzt in das Quotientenkriterium einsetzen:
Mit den Mitteln der Bruchrechnung vereinfachen wir den Term. Zur
Erinnerung:
Man
dividiert
durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert (blau) multipliziert:
Nachdem wir die Multiplikation ausgeführt haben, erhalten wir:
Jetzt zerlegen wir 7n+1 bzw. (-1)n+1 mit Hilfe
einer Regel
aus der Potenzrechnung: am+n= am·an.
Wir erhalten:
Durch das Zerlegen können wir nun kürzen:
Als nächstes kürzen wir den Bruch durch die höchste Potenz von n,
d.h. wir dividieren Zähler und Nenner durch n:
Jetzt können wir zwei der Brüche kürzen:
Nun führen wir den Grenzwertübergang durch, d.h. wir ersetzen
die Variable n durch Unendlich:
Ergebnis:
Das Quotientenkriterium liefert einen Wert (nämlich 1/7) der kleiner als
1 ist.
Daher konvergiert die gegebene Reihe, die folgendermaßen lautete:
wobei wir aber nicht wissen, gegen welchen Wert die Reihe konvergiert,
denn dazu macht das Quotientenkriterium keine Angaben. |
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