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Nun überlegen wir uns, wie man einen
Sattelpunkt durch Berechnung
erkennen kann. Speziell auf dieser Seite geht es darum, einen Sattelpunkt
mit Wechsel von Rechts- in Linkskrümmung zu berechnen:
Dazu betrachten wir die Steigung der Funktion f(x), also die 1.Ableitung:
Die Steigung von f(x) sinkt vor dem Sattelpunkt, hat im Sattelpunkt
den Wert Null, und steigt nach dem Sattelpunkt wieder an.
Einen Sattelpunkt
(mit Rechts-Links-Wechsel) erkennt
man daran, daß die 1.Ableitung f '(x) dort gleich Null ist
und außerdem dort ein relatives Minimum hat. |
Das Bild der ersten Ableitung f '(x) sieht also
so aus:
Die 1.Bedingung ist also, daß die Ableitung
f '(x) im Sattelpunkt gleich 0 ist:
Sattelpunkt (Rechts-Links-Wechsel)  f '(x0)
= 0
Die 2.Bedingung ist, daß die Ableitung f '(x) dort ein relatives Minimum hat.
Dies bedeutet aber, daß die nächsthöhere Ableitung f ''(x) gleich Null
sein muß, und das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt.
Damit ist ein hinreichendes Kriterium für einen Sattelpunkt gefunden:
Kriterium für einen
Sattelpunkt (mit Rechts-Links-Wende):
A: Die erste Ableitung f '(x) ist an der Stelle x0 gleich Null: f '(x0)=0 B: Die erste Ableitung f ''(x) hat an der Stelle x0 in Minium, d.h.
> Die zweite Ableitung ist gleich Null
> Die zweite Ableitung wechselt das Vorzeichen von Minus nach Plus
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