| Beispiele zu 4 |
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Beispiele zu Punkt 4 |
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Nun soll der Punkt 4 der Definition erklärt
werden.
Dabei geht es um die Stetigkeit von Funktionen, die
nur eine Teilmenge der reellen Zahlen definiert sind.
In der Schulmathematik kommen solche Aufgaben zwar
nicht vor, wir wollen den Fall aber trotzdem behandeln.
Gegeben sei also ein Funktion die nur auf einem Intervall
der rellen Zahlen definiert ist, z.B. die Funktion f(x) = 2x
die auf dem geschlossenen Intervall [1,3] definiert sei:
Nun wollen wir den Anfangspunkt des Graphen (die Stelle x=1)
betrachten. Um zu überprüfen, ob der Graph bei x=1 stetig ist,
wenden wir die Definition der Stetigkeit an:
Man müßte zuerst überprüfen, ob linksseitiger und rechtsseitiger
Grenzwert an der Stelle x=1 existieren, und ob beide Grenzwerte
übereinstimmen.
Ob der linksseitige Grenzwert existiert kann man aber nicht
überprüfen, denn der linksseitige Grenzwert ist nicht definiert,
da er außerhalb des Definitionsbereiches liegt.
Daher nennt man die Stelle x=1 oder allgemein die Endpunkte
auch dann stetig, auch wenn nur der einseitige Grenzwert existiert,
und mit dem Funktionswert am Endpunkt übereinstimmt.
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