Die Bilder zeigen zwei Funktionen, die bei x0=1 unstetig sind.
Bild A: Bildet man bei x0=1 den linken und rechten
Grenzwert,
so stimmen diese nicht überein, d.h. der Grenzwert exisitiert nicht.
Dies ist anscheinend der Grund für die Unstetigkeit.
Bild B: Bildet man x0=1 den linken und rechten
Grenzwert, so
stimmen diese überein, d.h. der Grenzwert exisitiert: Er ist 1.
Aber der Funktionswert (-2) an dieser Stelle ist nicht mit dem
Grenzwert identisch, was anscheindend zur Unstetigkeit führt.
Man definiert daher:
Gegeben sei eine Funktion f(x) und
eine Stelle x0.
Dann nennt man die Stelle x0 stetig, wenn die
folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Die Stelle x0
im Definitionsbereich von f(x) liegt Der Grenzwert (limes)
an der Stelle x0 vorhanden ist
(d.h. linksseitiger Grenzwert= rechtsseiterGrenzwert) An der Stelle x0
der Grenzwert (limes) mit dem
Funktionswert f(x0) übereinstimmt:
Für die Endpunkte des Definitionsbereiches gilt:
Einen Endpunkt des Definitionsbereiches nennt man stetig,
wenn der einseitige Grenzwert gebildet werden kann,
und mit dem Funktionswert übereinstimmt.
Die Stelle x0
im Definitionsbereich von f(x) liegt
Der Grenzwert (limes)
an der Stelle x0 vorhanden ist
An der Stelle x0
der Grenzwert (limes) mit dem 
Einen Endpunkt des Definitionsbereiches nennt man stetig,