Nun wollen wir die Stetigkeit der Wurzelfunktion
für alle Stellen
x0 > 0 beweisen. Die allgemeine Definition der Stetigkeit lautete:
Wir müssen also überprüfen ob die Ungleichung |x-xo| < in
die
Ungleichung |f(x)-f(x0)| < umgeformt werden kann, d.h. im Fall
der Wurzelfunktion muß die Ungleichung < entstehen.
Wir nehmen dazu die Ungleichung |x-xo| < und multiplizieren
beide Seiten mit :
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch :
Nun erweitern wir diese Ungleichung um eine "Behauptung":
Zuerst einmal müssen wir uns klar machen: Falls die Behauptung
stimmen würde, dann könnte man den mittleren Term fortfallen lassen
und erhielte die zu beweisende Ungleichung < ,
und damit wäre die Stetigkeit bewiesen!
Wir müssen also nur herausfinden, ob die "Behauptung" richtig ist.
Genauer: Ob es zu jeden >0 ein >0 gibt, sodaß die "Behauptung"
(also die Ungleichung) wahr wird:
Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit und dividieren beide
Seiten durch :
in
die
umgeformt werden kann, d.h. im Fall
< 
