Stetigkeit
der
Wurzelfunktion
(für alle x0>0)
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Der Wert des Bruches ändert sich nicht, wenn
wir die
Betragsstriche um den gesamten Bruch schreiben, anstatt
einzeln um Zähler und um den Nenner:
Der Zähler kann als 3.Binom interpretiert werden:
Nun können wir kürzen:
Weil Wurzeln immer positiv sind, sind die
Betragstriche überflüssig:
Auf der vorigen Seite haben wir erläutert, daß wir
beweisen
müssen, daß es zu jedem  >0 mindestens ein  >0 gibt,
sodaß die "Behauptung" und somit die Ungleichung  wahr wird.
Weil wir nur die Existenz von -Werten beweisen müssen,
dürfen wir den Wert kleiner als nötig berechnen. Dazu streichen
wir die "Wurzel aus x" aus der Ungleichung:
Nun haben wir eine Ungleichung für , in der nur noch von
und x0
abhängt. Mit dieser Ungleichung kann man zu jeder
(beliebig kleinen) -Umgebung um f(x0) ein passendes >0
angeben, und damit ist die Funktion stetig.
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