Rechnerischer
Nachweis der Punktsymmetrie zu einem gegebenen Punkt
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Gegeben und Gesucht |
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Gegeben sei die Funktion der vorigen
Seite: f(x) = (x–1)3+2
Die Vermutung, dass die Funktion punktsymmetrisch
zum Punkt P(1/2) ist, soll nun rechnerisch bewiesen
werden.
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Benötigte Formeln |
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Wir benutzen das "Kriterium
für Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt",
das wir auf der vorigen Seite kennengelernt haben:
f(x) = 2·f(x0) – f(2·x0–x)
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Lösung |
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Wir schreiben das Kriterium auf:
f(x) = 2·f(x0) – f(2·x0–x)
Wir ersetzen
x0
und f(x0) durch die gegebenen Werte. Dabei sind x0
und f(x0)
ja nichts anderes, als die (gegebenen) Koordinaten des Punktes P(1/2):
f(x) = 2·2 – f(2·1–x)
Vereinfachen:
f(x) = 4 – f(2–x)
Auch den Ausdruck f(x) können wir ersetzen, denn f(x) ist ja gegeben:
(x–1)3+2= 4 –
f(2–x)
Jetzt wir es etwas komplizierter: Wir müssen auf der rechten Seite
f(2–x) berechnen. Dies bedeutet, wir müssen die
Funktion f(x) an der Stelle "2–x" berechnen. Praktisch
bedeutet dies, dass wir die gegebene Funktion f(x) hinschreiben,
aber "x" durch "2–x" ersetzen:
(x–1)3+2= 4 – [(2–x–1)3+2]
Um die Gleichheit der beiden Seiten zu zeigen, folgen nun einige
elementare
Rechenoperationen auf der rechten Seite der Gleichung. Klammer
vereinfachen:
(x–1)3+2= – (1–x)3
+2
Auf der rechten Seite wird aus der Klammer (1–x) der Faktor –1
ausgeklammert:
(x–1)3+2= – [(–1)(x–1)]3
+2
Potenzgesetz anwenden:
(x–1)3+2= –
[(–1)3(x–1)3]+2
Das Minuszeichen vor der Klammer kann man als Faktor –1 schreiben:
(x–1)3+2=
(–1)
[(–1)3(x–1)3]+2
Eckige Klammer fällt weg:
(x–1)3+2= (–1)4(x–1)3 +2
Der Faktor (–1)4 fällt weg, denn
(–1)4 = 1:
(x–1)3+2= (x–1)3 +2
Da beide Seiten gleich sind, haben wir bewiesen, dass die Funktion
f(x) = (x–1)3+2
tatsächlich zum Punkt (1/2) symmetrisch ist.
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