Symmetrie I ZURÜCK
Berechnung des Symmetriepunktes
a-absatz.pcx (280 Byte) Erklärung

Bis jetzt haben wir nur überprüft, ob eine Funktion zu einem gegebenen
Punkt symmetrisch ist. Jetzt wollen wir einen Schritt weiter gehen,
und diesen Punkt berechnen. Als Beispiel betrachten wir die Funktion:

 

 Wir wollen also den Punkt berechnen, zu dem die Funktion punktsymmetrisch ist.

 Schritt 1: Koordinaten von zwei Punkten berechnen:
 Als erstes berechnen wir zwei Punkte der Funktion, indem wir zwei beliebige Werte
für x in die Funktionsgleichung  einsetzen, und die zugehörigen y-Werte berechnen.
Um die Rechnung möglichst einfach zu halten, setzen wir zunächst x=0 und x=1 ein, und erhalten:


Schritt 2a: Koordinaten von P einsetzen:
 Jetzt wollen wir uns an die Formel für Punktsymmetrie zu x0/y0 in Gedächnis rufen:
         
In diese Formel setzen wir die soeben errechneten Koordinaten von P=(0,1) ein.
Konkret bedeutet dies, dass wir x durch 0 ersetzen, und  f(x) durch 1:



Jetzt ersetzen wir  f(2x0–0) durch die Funktion f(x) an der Stelle 2x0–0.
Konkret bedeutet dies, dass statt dem Audruck f(2x0–0) die gegebene Funktion f(x) hinschreiben,
aber alle x durch 2x0–0 ersetzen:
 

Es folgen ein paar einfache Umstellungen:
Schritt 2b: Koordinaten von Q einsetzen:
 Wir gehen genauso vor, wie im Schritt 1. Wir erinnern uns der Formel der Punktsymmetrie:

Jetzt setzen wir aber die Koordinaten von Q=(1/2) in die Gleichung ein.
Konkret bedeutet dies, dass wir x durch 1 ersetzen, und  f(x) durch 2:


Wir ersetzen wir  f(2x0–1) durch die Funktion f(x) an der Stelle 2x0–1.
Konkret bedeutet dies, dass wir statt dem Ausdruck f(2x0–1) die gegebene Funktion f(x)
ersetzen, aber im Funktionsterm alle x durch 2x0–1 ersetzen:



Jetzt müssen alle Binome in der eckigen Klammer berechnet werden:

Wir lösen die eckige Klammer auf, und fassen dann gleiche Terme zusammen:


 Schritt 3: Beide ermittelten Gleichungen gleichsetzen:
Wir haben im Schritt 2a bzw. 2b jeweils y0 berechnet. Beide Ergebnisse werden jetzt gleichgesetzt:



Durch vereinfachen erhält man eine quadratisch Gleichung:



Wir lösen diese quadratische Gleichung mit der "Lösungformel für quadratische Gleichungen", und erhalten:



Mögliche x-Koordinaten mit Punktsymmetrie sind also die Stellen x=0.5 und x=1.
Die dazugehörigen Funktionswerte berechnen wir durch Einsetzen in die
gegebene Gleichung und erhalten die möglichen Symmetriepunkte (1/2) und  (0.5/1.875)

 Schritt 4: Überprüfe die Punkte auf Symmetrie:
Wir überprüfen beide Punkte mit der Formel für Punktsymmetrie,
wie wir es ein paar Seiten vorher gelernt haben:


Wir überprüfen zunächst P=(1/2):



Der Punkt (1/2) ist Symmetriepunkt, denn die letzte Aussage ist immer wahr.
Eine gleiche Überprüfung für (0.5/1.875) würde ergeben, dass dieser Punkt kein
Symmetriepunkt ist.

   

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