Beweis zum Satz:
Punktymmetrie
zum Ursprung bei
ganzrationalen
Funktionen
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Beweis |
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Die allgemeine Definition einer ungerade
Funktion lautete:
f(-x) = -f(x)
Nehmen wir an, die Funktion f(x) sei eine ganzrationale Funktion,
die nur ungerade Exponenten hat::
f(x) = a·x1
+ b·x3 + c·x5 + ...
Nun bestimmen wir f(–x), und versuchen es in –f(x) umzuformen:
f(-x) = a·(-x)1
+ b·(-x)3 + c·(-x)5 + ...
Aus jedem Summanden kann man den Faktor
(–1) ausklammern.
Exemplarisch zeigen wir das am Summanden b·(-x)3 :
b·(-x)3 = b·(–1·x)3 =
b·(–1)3·x3 = b·(–1)·x3
Wir erhalten:
f(-x) = a·(–1)·x1
+ b·(–1)·x3 +c·(–1)·x5 + ...
Den Faktor (–1) klammern wir nun aus:
f(-x) = (–1) · (a·x1
+ b·x3 + c·x5 + ...)
Die Klammer entspricht aber f(x):
f(-x) = –f(x)
Dies ist aber die Definition der "Punktsymmetrie zum Ursprung, und
somit ist der Beweis erbracht.
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