Summe zweier ungerader Funktionen

Symmetrie II

Summe aus gerader und ungerader Funktion

Satz

Wir wollen nun untersuchen, ob eine Funktion gerade, ungerade oder unsymmetrisch ist,
wenn sie die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Teilfunktionen bildet.

Beispielsweise besteht die folgende Funktion f(x) aus einer geraden und einer
ungeraden Teilfunktionen, denn g(x)=x⁴ ist gerade und u(x)=sin(x) ist ungerade:

f(x) = x⁴ + sin(x)

Die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion ergibt eine Funktion, die zwar
weder gerade noch ungerade ist, doch sie kann zu anderen
Punkten (bzw. zu Parallelen der y-Achse) symmetrisch sein.

Beweis Teil 1

Im ersten Teil beweisen wir, dass die Summe aus gerader und ungerader Funktion
weder gerade noch ungerade ist.

Gegeben sei also eine Funktion f(x), die aus einer geraden und einer
ungeraden Teilfunktion besteht, die wir g(x) und u(x) nennen:

       f(x) = g(x) + u(x)

Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:

       f(–x) = g(–x) + u(–x)

Die Teilfunktion g(x) ist sind laut Voraussetzung eine gerade Funktion.
Daher dürfen wir g(–x) durch g(x) ersetzen:

       f(–x) = g(x) + u(–x)

Die Teilfunktion u(x) ist sind laut Voraussetzung eine ungerade Funktion.
Daher dürfen wir u(–x) durch –u(x) ersetzen:

       f(–x) = g(x) – u(x)

Nun vergleichen wir die rechte Seite der Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung:
Die rechte Seite entspricht weder f(x) noch –f(x).
Daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

Beweis Teil 2

Im ersten Teil haben wir bewiesen, dass die Summe aus gerader und ungerader Funktion
weder gerade noch ungerade sein kann.

Im zweiten Teil beweisen wir, dass die Summe aus gerader und ungerader Funktion
andere Symmetrien aufweisen kann, oder aber ganz unsymmetrisch ist.

Dazu müssen wir je ein Beispiel angeben können. Ein Beispiel ist die Funktion:

Sie hat einen geraden und einen ungeraden Summanden, ist aber symmetrisch
zur Achse x= –0.5, was man durch den Test aus Kapitel 1 beweisen kann:

Betrachten wir nun die Funktion:

Sie hat ebenfalls einen geraden und einen ungeraden Summanden, ist aber
vollkommen unsymmetrisch: