Produkt zweier
gerader Funktionen
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 | Satz |
| Wir wollen nun untersuchen, ob eine Funktion gerade, ungerade oder unsymmetrisch ist,
wenn sie aus einem Produkt aus zwei geraden Teilfunktionen besteht.
Beispielsweise besteht die folgende Funktion f(x) aus dem Produkt zweier geraden Teilfunktionen, denn sowohl g1(x)=cos(x)
als auch g2(x)=x2 sind gerade Funktionen:
f(x) = cos(x) · x2
Wir werden festellen, das gilt:
Das Produkt zweier gerader Funktionen ergibt
eine gerade Funktion, d.h. eine Funktion, die achsensymmetrisch zur Funktionswertachse (y-Achse) ist. |
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| Beweis |
| Gegeben sei also eine Funktion f(x), die Produkt zweier gerader Teilfunktionen ist,
die wir g1(x) und g2(x) nennen:
f(x) = g1(x) · g2(x)
Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:
f(–x) = g1(–x) · g2(–x)
g1(x) und g2(x) sind laut Voraussetzung gerade Funktionen.
Daher gilt: g1(–x)= g1(x) und g2(–x)= g2(x). Wir erhalten:
f(–x) = g1(x) · g2(x)
Wir vergleichen die
rechte Seite dieser Gleichung mit der gegebenen Gleichung
und erkennen, dass sie f(x) entspricht:
f(–x) = f(x)
Dies ist aber die Formel für Achsensymmetrie zur y-Achse,
d.h. die Funktion f(x) ist gerade Funktion.
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