Produkt zweier ungerader Funktionen
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 | Satz |
| Wir wollen nun untersuchen, ob eine Funktion gerade, ungerade oder unsymmetrisch ist,
wenn sie aus einem Produkt aus zwei ungeraden Teilfunktionen besteht.
Beispielsweise besteht das folgende Produkt f(x) aus zwei ungeraden Teilfunktionen,
denn sowohl u1(x)=sin(x) als auch u2(x)=x3 sind ungerade Funktionen:
f(x) = sin(x) · x3
Wir werden festellen, das gilt:
Das Produkt aus zwei ungeraden Funktionen
ergibt eine gerade Funktion, d.h. eine Funktion,
die achsensymmetrisch zur y-Achse ist. |
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| Beweis |
| Gegeben sei also ein Produkt f(x), das aus zwei ungeraden Teilfunktionen
besteht, die wir u1(x) und u2(x) nennen:
f(x) = u1(x) · u2(x)
Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:
f(–x) = u1(–x) · u2(–x)
u1(x) und u2(x) sind laut Voraussetzung ungerade Funktionen.
Daher gilt: u1(–x)= –u1(x) und u2(–x)= –u2(x). Wir erhalten:
f(–x) = –u1(x) · [–u2(x)]
Aus dem Vorzeichenregeln für Produkte folgt, dass sich auf der rechten Seite
der Gleichung die beiden negativen Vorzeichen aufheben:
f(–x) = u1(x) · u2(x)
Wir vergleichen die rechte Seite dieser Gleichung mit der gegebenen Gleichung
und erkennen, dass sie f(x) entspricht:
f(–x) = f(x)
Dies ist aber die Formel für Achsensymmetrie zur Funktionswertachse (y-Achse),
d.h. die Funktion f(x) ist eine gerade Funktion.
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