Produkt aus gerader und ungerader Funktion

Symmetrie II

Produkt aus gerader und ungerader Funktion

Satz

Das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden
Funktion ergibt eine ungerade Funktion, d.h. eine
Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Beispielsweise besteht das folgende Produkt f(x) aus einer geraden Teilfunktion g(x)=x²
und einer ungeraden Teilfunktion u(x)=x³:

f(x) = x² · x³

Die Funktion f(x) ist daher unsymmetrisch.

Die Grafiken zum Beispiel findet man am Ende der Seite (bitte runterscrollen).

Beweis

Gegeben sei also ein Produkt f(x), das aus einer geraden Teilfunktionen g(x)
und einer ungeraden Teilfunktion u(x) besteht:

       f(x) = g(x) · u(x)

Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:

       f(–x) = g(–x) · u(–x)

g(x) ist laut Voraussetzung eine gerade Funktionen, und daher gilt g(–x)=g(x):

       f(–x) = g(x) · u(–x)

u(x) ist laut Voraussetzung eine ungerade Funktionen, und daher gilt u(–x) = –u(x):

       f(–x) = g(x) · [–u(x)]

Das Minuszeichen schreiben wir vor das Produkt (Vorzeichenregel für Produkte):

       f(–x) = – [ g(x) · u(x) ]

Wenn wir die eckige Klammer mit der gegebenen Gleichung vergleichen,
dann erkennen wir, dass die eckige Klammer f(x) entspricht:

       f(–x) = – f(x)

Dies ist aber die Formel für eine ungerade Funktion, d.h. für Punktsymmetrie zum Ursprung.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion f(x) = x²·x³
Sie besteht aus einem geraden Anteil:

... und einem ungeraden Anteil:

Das Produkt ergibt eine ungerade Funktion: