Quotient zweier
gerader Funktionen
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 | Satz |
| Wir wollen nun untersuchen, ob eine Funktion gerade, ungerade oder unsymmetrisch ist,
wenn sie aus
dem Quotienten zweier gerader Teilfunktionen besteht.
Beispielsweise besteht die folgende Funktion f(x) aus dem
Quotient zweier gerader
Funktionen, denn sowohl g1(x)=cos(x) als auch g2(x)=x2 sind gerade Funktionen:
Wir werden festellen, dass gilt:
Das
Quotient zweier gerader Funktionen ergibt
eine gerade Funktion, d.h. eine Funktion, die achsensymmetrisch zur Funktionswertachse (y-Achse) ist. |
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| Beweis |
| Gegeben sei also eine Funktion f(x), die Produkt zweier gerader Teilfunktionen ist,
die wir g1(x) und g2(x) nennen:
Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:
g1(x) und g2(x) sind laut Voraussetzung gerade Funktionen.
Daher gilt: g1(–x)= g1(x) und g2(–x)= g2(x). Wir erhalten:
Wir vergleichen die
rechte Seite dieser Gleichung mit der gegebenen Gleichung
und erkennen, dass sie f(x) entspricht:
Dies ist aber die Formel für Achsensymmetrie zur y-Achse,
und damit ist bewiesen, dass die Funktion f(x) eine gerade Funktion
ist.
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