Quotient zweier
ungerader Funktionen
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 | Satz |
| Wir wollen nun untersuchen, ob eine Funktion gerade, ungerade oder unsymmetrisch ist,
wenn sie aus
dem Quotienten zweier ungerader Teilfunktionen besteht.
Beispielsweise besteht die folgende Funktion f(x) aus dem
Quotienten zweier ungerader
Funktionen, denn sowohl u1(x)=sin(x) als auch u2(x)=x2 sind ungerade Funktionen:
Der Graph der Funktion f(x) läßt vermuten, dass der Quotient eine gerade
Funktion ist:
Wir werden die Richtigkeit dieser Vermutung beweisen, d.h. es gilt:
Das
Quotient zweier ungerader Funktionen ergibt
eine gerade Funktion, d.h. eine Funktion, die achsensymmetrisch zur Funktionswertachse (y-Achse) ist. |
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| Beweis |
| Gegeben sei also eine Funktion f(x), die
Quotient zweier
ungerader Teilfunktionen ist,
die wir u1(x) und u2(x) nennen:
Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:
u1(x) und u2(x) sind laut Voraussetzung ungerade Funktionen.
Daher gilt:
u1(–x)= –u1(x) und u2(–x)=
–u2(x). Wir erhalten:
Die negativen Vorzeichen im Zähler und Nenner kürzen sich weg:
Wir vergleichen die
rechte Seite dieser Gleichung mit der gegebenen Gleichung
und erkennen, dass sie f(x) entspricht:
Dies ist aber die Formel für Achsensymmetrie zur y-Achse,
und damit ist bewiesen, dass die Funktion f(x) eine gerade Funktion
ist.
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